<div id="readability-page-1" class="page"><div>
 
 <article>
 <ul id="markdown-toc">
 <li><a href="#개요" id="markdown-toc-개요">개요</a></li>
 <li><a href="#풀이" id="markdown-toc-풀이">풀이</a> <ul>
 <li><a href="#손으로-계산해서-풀기" id="markdown-toc-손으로-계산해서-풀기">손으로 계산해서 풀기</a></li>
 <li><a href="#직접-코딩해-풀기" id="markdown-toc-직접-코딩해-풀기">직접 코딩해 풀기</a></li>
 </ul>
 </li>
 <li><a href="#links" id="markdown-toc-links">Links</a></li>
</ul>

<h2 id="개요">개요</h2>

<ul>
 <li>M&amp;M 초콜렛을 만드는 Mars 사에서는 시간에 따라 색의 조합을 바꿔왔다.</li>
 <li>1995년에는 파란색이 추가되었다.</li>
 <li>1995년 기준으로 색 조합은 다음 표와 같다.</li>
</ul>

<table>
 <thead>
 <tr>
 <th>&nbsp;</th>
 <th>1995년 이전</th>
 <th>1995년부터</th>
 </tr>
 </thead>
 <tbody>
 <tr>
 <td>파랑(Blue)</td>
 <td>&nbsp;</td>
 <td>24 %</td>
 </tr>
 <tr>
 <td>갈색(Brown)</td>
 <td>30 %</td>
 <td>13 %</td>
 </tr>
 <tr>
 <td>노랑(Yellow)</td>
 <td>20 %</td>
 <td>14 %</td>
 </tr>
 <tr>
 <td>빨강(Red)</td>
 <td>20 %</td>
 <td>13 %</td>
 </tr>
 <tr>
 <td>녹색(Green)</td>
 <td>10 %</td>
 <td>20 %</td>
 </tr>
 <tr>
 <td>주황(Orange)</td>
 <td>10 %</td>
 <td>16 %</td>
 </tr>
 <tr>
 <td>황갈색(Tan)</td>
 <td>10 %</td>
 <td>&nbsp;</td>
 </tr>
 </tbody>
</table>



<blockquote>

 한 친구가 M&amp;M을 두 봉지 샀는데 각각 생산년도가 1994년, 1996년이었다.
생산년도를 알려주지 않고 각 봉지에서 M&amp;M을 하나씩 꺼냈을 때 한 알은 노란색이고 한 알은 녹색이었다.
이 때 노랑 초콜렛이 1994년에 생산한 봉지에서 나왔을 확률은 얼마일까?
</blockquote>

<h2 id="풀이">풀이</h2>

<h3 id="손으로-계산해서-풀기">손으로 계산해서 풀기</h3>

문제는 녹색, 노랑 초콜렛이 각 봉지에서 하나씩 나온 상태에서 1994년 생산 봉지에서 노랑 초콜렛이 나왔을 가능성을 따지는 것이다.

이를 좀 더 명확하게 표현하자면 다음과 같다.

<ul>
 <li>봉지1과 봉지2가 있다.
 <ul>
 <li>가설(Hypothesis) A : 봉지1이 1994년산, 봉지2가 1996년산.</li>
 <li>가설(Hypothesis) B : 봉지1이 1996년산, 봉지2가 1994년산.
 <ul>
 <li>Hypothesis를 줄여서 <code>H</code>라 하자.</li>
 </ul>
 </li>
 </ul>
 </li>
 <li>데이터 D : 봉지1에서 노랑 초콜렛이 나왔고, 봉지2에서 녹색 초콜렛이 나왔다.</li>
 <li>$p(H_a \mid D)$의 값을 구하여라.</li>
</ul>

[[/Bayes-theorem]]에 의해 다음과 같이 식을 꾸밀 수 있다.

\[p(H_a \mid D) = {p(H_a) \space p(D \mid H_a) \over p(D)}\]

이제 각 항목당 값을 찾아 대입하면 된다.

일단 가설 A와 가설 B의 확률은 다음 값이 될 것이다.

\[p(H_a) = \frac{1}{2} \\
p(H_b) = \frac{1}{2} \\\]

이제 D의 확률을 구하자.

D의 확률은 다음의 두 가지 경우의 확률을 구해 더하면 된다.

<ul>
 <li>가설 A and 데이터의 상황</li>
 <li>가설 B and 데이터의 상황</li>
</ul>

\[\begin{align}
p(D) &amp; = p(D \space and \space H_a) + p(D \space and \space H_b) \\
 &amp; = p(H_a) \times p(D \mid H_a) + p(H_b) \times p(D \mid H_b) \\
 &amp; = \frac{1}{2} \times p(D \mid H_a) + \frac{1}{2} \times p(D \mid H_b)
\end{align}\]

이제 $p(D \mid H_a)$ 와 $p(D \mid H_b)$의 값만 구하면 되겠다.

\[\begin{align}
p(D \mid H_a) &amp; = \frac{20}{100} \times \frac{20}{100} = \frac{40}{1000} \\
p(D \mid H_b) &amp; = \frac{10}{100} \times \frac{14}{100} = \frac{14}{1000} \\
\end{align}\]

따라서,

\[\begin{align}
p(D) &amp; = \frac{1}{2} \times \frac{40}{1000} + \frac{1}{2} \times \frac{14}{1000} \\
 &amp; = \frac{20}{1000} + \frac{7}{1000} = \frac{27}{1000}
\end{align}\]

$p(D)$ 까지 다 구했으니 이제는 값을 대입하기만 하면 된다.

\[\begin{align}
p(H_a \mid D) &amp; = {p(H_a) \space p(D \mid H_a) \over p(D)} \\
 &amp; = {\frac{1}{2} \times \frac{40}{1000} \over \frac{27}{1000}} \\
 &amp; = {\frac{20}{1000} \over \frac{27}{1000}} \\
 &amp; = \frac{20}{27} \\
\end{align}\]

그러므로, 답은 $\frac{20}{27}$이 된다.

<h3 id="직접-코딩해-풀기">직접 코딩해 풀기</h3>

다음은 [[/Think-Bayes]]의 코드를 참고하여 자바스크립트로 풀어본 것이다.

<ul>
 <li><a href="https://github.com/johngrib/think-bayes-study/blob/master/code/m_and_m.js">m_and_m.js</a></li>
</ul>

<div><pre><code>// hypos: 가설의 배열
// 가설의 배열을 돌며 같은 경우의 수 1을 부여한다
function init(hypos) {
 const dict = {};
 hypos.forEach((h) =&gt; {
 dict[h] = 1;
 });
 return dict;
}

// 모든 가설을 돌며 mix의 dataName에 해당하는 값을 곱해 업데이트한다
function update(p, dataName) {

 Object.keys(p).forEach((hypo) =&gt; {

 // p(H_dataName) * p(D | H_dataName)
 p[hypo] = p[hypo] * likelihood(p, hypo, dataName);
 });

 return normalize(p);
}

// p(D | H_dataName)
function likelihood(dict, hypo, dataName) {
 const bag = dataName[0];
 const color = dataName[1];
 return hypotheses[hypo][bag][color];
}

// 모든 가설의 확률의 비율을 유지하며, 총합이 1이 되도록 정규화한다
function normalize(p) {
 const values = Object.values(p);
 const sum = values.reduce((a, b) =&gt; a + b);
 const result = {};
 Object.keys(p).forEach((key) =&gt; {
 result[key] = p[key] / sum;
 });
 return result;
}

const mix94 = {
 'brown': 30,
 'yellow': 20,
 'red': 20,
 'green': 10,
 'orange': 10,
 'tan': 10,
};
const mix96 = {
 'blue': 24,
 'green': 20,
 'orange': 16,
 'yellow': 14,
 'red': 13,
 'brown': 13,
};
const hypotheses = {
 'A': {
 'bag1': mix94,
 'bag2': mix96,
 },
 'B': {
 'bag1': mix96,
 'bag2': mix94,
 }
};

function main() {

 const suite = init(['A', 'B']);

 let result;

 result = update(suite, ['bag1', 'yellow']);
 result = update(suite, ['bag2', 'green']);

 console.log(result);
}

main();
</code></pre></div>

위의 코드를 실행하면 다음과 같은 결과가 나온다.

<div><pre><code>$ $ node m_and_m.js
{ A: 0.7407407407407407, B: 0.25925925925925924 }
</code></pre></div>

$\frac{20}{27} \approx 0.740740...$ 이므로 손으로 계산한 값과 같다고 볼 수 있다.

<h2 id="links">Links</h2>

<ul>
 <li>[[/Think-Bayes]]</li>
</ul>


 </article>


 
 
 



</div></div>

M&M 문제

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